\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{MP10 - Spectrométrie optique}
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\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}


\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
\item \textbf{2014-2016: }Quel que soit l'appareil de mesure utilisé, notamment le spectromètre à entrée fibrée interfacé avec l'ordinateur, son principe de fonctionnement et ses caractéristiques d'utilisation, en particulier son pouvoir de résolution, doivent être connus. Dans le cas où un candidat souhaite utiliser un spectromètre qu'il a réalisé lui-même, il est rappelé que la mesure des angles au goniomètre est bien plus précise que le simple pointé avec une règle sur un écran ; en outre, s'il souhaite utiliser un réseau en incidence normale, le candidat doit s'assurer de la réalisation expérimentale correcte de cette incidence particulière.
\item \textbf{2010-2013: }Le prisme à vision directe doit être réservé aux observations qualitatives. Enfin, le pouvoir de résolution des appareils doit être connu et leurs limitations discutées.
\item \textbf{2008: }La spectrométrie par transformée de Fourier, souvent réalisée de façon semi-quantitative sur les raies du mercure ou du sodium, se prêtre à un enregistrement numérique, qui sans être indispensable, est bien plus démonstratif et permet des mesures sensiblement plus précises. Si le coeur du sujet est la mesure de longueurs d'onde, les phénomènes qui affectent la résolution des spectromètres ne doivent pas être ignorés.
\item \textbf{2005: }La notion de résolution est importante et doit être abordée. Il en est de même de l'influence de la largeur de la fente d'entrée. L'usage des spectromètres informatisés à fibre ne doit pas être exclusif.
\item \textbf{1998: }Dans les cas usuels d'utilisation des spectromètres, la largeur de la fente d'entrée, celle de la fente de sortie ainsi que la diffraction par l'élément dispersif ont une grande importance dans le pouvoir de résolution apparent ; un des objectifs du montage est de montrer le rôle respectif de ces paramètres.
\end{itemize}

\newpage

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Optique expérimentale}, \textbf{Sextant}  & Manips et exploitation \\ 
\textit{Expériences d'optique à l'agrégation}, \textbf{Duffait}  &  Compléments sur les manips\\
 \textbf{FLTCLD}  & Constante de Rydberg et biréfringence \\
\textit{Tout-en-un physique PC, Dunod}, \textbf{Sanz}  & Théorie pour les réseaux \\
\textbf{FLTCLD}  & Réglages Michelson \\
\textit{Tout-en-un Physique PC}, \textbf{Sanz} & Calcul doublet du sodium\\
\end{tabular}

\noindent

\subsection*{Expériences}
\begin{itemize}[label=\Coffeecup]
	\item 
\end{itemize}

\tableofcontents

\newpage

\section*{Introduction}

La spectroscopie signifie l'étude des spectres dans la répartition de l'énergie selon chaque fréquence. Ici on s'intéresse uniquement au domaine du visible (optique).

\vspace{0.2cm}

\section{Introduction historique}

Usuellement, la première expérience de spectroscopie est sans nul doute celle de Newton avec son prisme. Le principe est simple : effectuer une décomposition de la lumière par une diffusion qui dépend de la longueur d'onde.

\subsection{Newton}

\experience{Expérience de Newton}{}{1mn}{
\textbf{Matériel :} Un prisme (de grand indice), une source lumineuse blanche à l'infini (lentilles).

Tu sais quoi faire non ?

}

Ce principe de décomposition est généralisable, et est le fondement de toutes les expériences de spectrométrie.

Une autre façon de décomposer est d'utiliser un réseau

\subsection{Réseaux}

On peut également illustrer qualitativement le fonctionnement des réseaux ici, en lumière blanche et avec une lampe
spectrale à vapeur de sodium (spectre continu vs discontinu). Présenter les trois formules importantes des réseaux


\begin{align}
    \sin\theta-\sin\theta_0=\frac{m\lambda}{a}\\
    2\sin\frac{D_m}{2}=\frac{m\lambda}{a}\\
    p=mN
\end{align}

Avec :

$\theta$ l'angle avec la normale au réseau

$\theta_0$ l'angle du faisceau incident avec la normale

$D_m$ le minimum de déviation

$a$ le pas du réseau

$\lambda$ la longueur d'onde

$m$ l'ordre

$N$ le nombre de fente éclairées

\textbf{remarque :} linéaire en $\sin\theta$ c'est linéaire en $\theta$ aux petits angles, \textit{wink wink}.

\experience{Vérification de la loi des réseau}{}{5mn}{
\textbf{Matériel :} réseau 100 et 200 traits, lampe à mercure, filtre à UV, fente, lentille 12cm, dépoli millimétré.

Faire l'image de la fente sur le dépoli sans le réseau, placer le réseau 100 traits, en incidence normale.

Mesurer les angles de la manière qui vous sied, mais sans gonio, c'est ici un exemple pédagogique.

Vérifier que $sin\theta=\frac{1\lambda}{a}$ (1=ordre), et faire une petite régression linéaire pour remonter à la valeur de $a$ et donner une incertitude. (on connaît bien les $\lambda$, c'est une lampe à mercure.

Faire pareil avec le 200 traits, et remarquer que son ordre 1 est là où se cachait l'ordre 2 du 100 traits.
}

\transition{
Boooouh la mauvaise mesure d'angle, on va faire mieux avec un goniomètre ! Et on va montrer le pouvoir de la spectroscopie parce qu'on va remonter à la valeur du doublet du sodium !
}


\section{Mesure de la longueur d'onde moyenne du doublet du sodium}

L'expérience que l'on vient de faire utilisait un réseau de petit joueur, nous allons passer à un réseau de 1200 traits/mm !! \textit{La foule est en délire}. Et pour mesurer les angles, on va utiliser un Goniomètre !! \textit{Des t-shirts et des sous-vêtements pleuvent sur l'expérimentateurice}.

\subsection{Réglage du Goniomètre, étalonnage}

\url{http://web.cortial.net/gonio/reg_gonio.html}

En gros : largeur de la fente, lunette et collimateur à l'infini, horizontalité.

\prepa{Tracé d'une droite d'étalonnage}{}{}{

Prendre le spectre de la lampe à mercure et faire une régression sur $\lambda=2a\sin(D_m/2)$. On mesure $D_m$ et on connaît $\lambda$, on remonte à $a$.

L'incertitude sur $D_m$ est de 2 minutes d'arc.

Garder 2 points à faire devant le jury.
}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.6\textwidth]{fig/gonio.png}
    \caption{Spectre d'étalonnage}
    \label{fig:gonio}
\end{figure}


\subsection{Utilisation}

\experience{Déterminer la longueur d'onde du doublet}{}{3mn}{
Matériel : le gonio, la lampe à sodium.

Allumer la lampe (temps de chauffe...), la mettre à la place de la mercure, et c'est parti !
}

\begin{equation}
    \lambda=2a\sin\frac{D_m}{2}=(598\pm1\text{~ou~}2)\text{~nm}
\end{equation}

\begin{equation}
    \Delta\lambda=\lambda\sqrt{(\Delta D_m/D_m)^2+(\Delta a/a)^2}
\end{equation}


\textbf{La résolution du Gonio : }Normalement la limite de résolution est celle de la fente, dont la largeur empêche d'avoir une précision infinie. Cependant il existe une formule théorique pour la résolution d'un gonio qui dépend de son réseau.

\transition{On est content on a le doublet ! Mais on ne voit pas que c'est un doublet, en effet la résolution du gonio n'est pas assez bonne. Il va falloir ruser et faire de la spectroscopie de détail, avec un Interféromètre !}

\section{Mesure de l'écart du doublet du sodium avec un Michelson}

Expliquer le principe du Michelson, vite fait quoi, et détailler pourquoi c'est pratique ici : parce que deux figures d'interférences vont se superposer, et vont donner un magnifique brouillage !

\subsection{Réglage du Michelson}

\experience{Réglage du Michelson}{}{}{
\textbf{Matériel :}

$\bullet$ Michelson avec moteur (le n$\deg$1 est le meilleur)

$\bullet$ laser + lampe torche

$\bullet$ optionnel : photodiode+montage de charge pour acquérir l'intensité lumineuse

On veut régler le Michelson en \textbf{lame d'air}.
Pour cela, on commence par régler la compensatrice avec le laser en le faisant passer en incidence normale à travers la séparatrice et la compensatrice puis sur un écran et en réglant les vis de la compensatrices pour minimiser le nombre de points sur l'écran (idéalement avoir un seul point).

\smallbreak
On place ensuite le laser en entrée du Michelson en prenant soin de la faire arriver au milieu des miroirs. On règle le réglage grossier des miroirs pour de nouveau réduire le nombre de points image. 
On élargit ensuite le faisceau laser avec un objectif de microscope pour obtenir des anneaux.

\smallbreak
Charioter pour diminuer le nombre d'anneaux tout en touchant les vis de réglages pour garder les anneaux au centre. noter les positions pour lesquels on a qu'un anneau, c'est un intervalle dans lequel il y a le contact optique.

\smallbreak
Passer en coin d'air avec la vis grossière d'inclinaison et conjugue les miroirs et un écran avec une lentille.
On peut explorer avec la lampe torche l'intervalle autour du contact optique jusqu'à trouver les teintes de Newton. \textbf{NOTER LA POSITION DU CONTACT OPTIQUE.}

\smallbreak
Repasser en lame d'air et projeter les anneaux à l'infini sur un écran dans le plan focal image d'une lentille. 
}

\subsection{Position des brouillages}
Lorsqu'on éclaire avec une lampe à vapeur de sodium (et un condenseur) on observe régulièrement des brouillages dus à la superposition des figures d'interférence issue de chaque raie (un brouillage tous les 0.30 mm environ). 


\experience{Mesure du doublet du sodium}{}{}{
Noter les positions $x_n$ successives de chaque brouillage $n$ avec une incertitude assez importante (0.05 mm ou 0.10 mm) puis tracer la droite $x_n = an + b$. On retrouve alors $a$ et on en déduit $\delta \lambda = \frac{\lambda^2}{a}$}

\textbf{Incertitudes :}

$$u(\delta \lambda)=\delta \lambda \sqrt{2\left(\frac{u(\lambda)}{\lambda}\right)^2+\left(\frac{u(a)}{a}\right)^2}$$


\subsection{Tracé de l'intensité au centre en fonction de e}

L'intensité au centre de la figure d'interférences en fonction de l'épaisseur $e$ de la lame d'air pour une source monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ est :
$$I=I_0\left[1+\cos\left(\frac{4\pi e}{\lambda}\right)\right]$$

Si on ajoute une seconde source de longueur d'onde $\lambda+\delta\lambda$, on a 
$$I=I_0\left[1+\cos\left(2\pi\frac{e\delta\lambda}{\lambda^2}\right)\cos\left(2\pi\frac{2e}{\lambda}\right)\right]$$

De plus ces raies ont une largeur qui provoque un brouillage permanent à partir d'une certaine épaisseur de lame d'air (problème de cohérence temporelle). Elles ont un profil Gaussien (lampe basse-pression) ou Lorentzien (lampe haut-pression) caractérisé par une largeur à mi-hauteur $\text{d}\lambda$.

Pour simplifier, on considère des profils en porte de largeur $\text{d}\lambda$. Le profil d'intensité devient alors :
$$I=I_0\left[1+\text{sinc}\left( 2\pi\frac{e\text{d}\lambda}{\lambda^2} \right)
\cos\left(2\pi\frac{e\delta\lambda}{\lambda^2}\right)\cos\left(2\pi\frac{2e}{\lambda}\right)\right]$$

On va donc faire défiler les anneaux en fonction du temps pour retrouver 3 échelles de temps caractéristiques qu'on pourra relier à des échelles de longueur d'onde. 

Le graphe temporel obtenu est similaire a celui présenté sur la figure si la vitesse de chariotage est constante et le capteur linéaire en intensité. 

\textbf{Il faut charioter sur une très grande distance, le moteur tournant à environ 1 tour en 15 min, il faudra prévoir environ 1h30 pour observer le brouillage total à partir du contact optique.}

On peut remonter aux échelles de temps en traçant la transformée de Fourier de cette longue acquisition.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.9\textwidth]{fig/interf_doublet_sodium.png}
    \caption{Figure d'interférence pour un profil lorentzien.}
    \label{fig:fig_interf}
\end{figure}

\remarque{Important}{Il est en réalité assez complexe d'obtenir un tel graphe car la vitesse du moteur n'est pas vraiment constante et que l'intensité mesurée n'est pas réellement celle qu'on souhaiterait (réponse non linéaire ? léger déplacement du centre de la figure ? autre ?). 

\textbf{Cette version de la manip est longue, périlleuse, difficile à réaliser, ne vous
permet pas de manipuler devant le jury et n'apporte finalement que peu de chose...}}

On peut déterminer la vitesse du moteur plus précisément en regardant la première fréquence de la transformée de fourrier $f_1$ :
$$v=\frac{\lambda}{2f_1}$$


On en déduit $\delta\lambda$ et $\text{d}\lambda$ avec les deux autres fréquences :
$$\delta\lambda=\frac{f_2\lambda^2}{v} \qquad \text{et} \qquad \text{d}\lambda=\frac{f_3v}{\lambda^2}$$

\textbf{Incertitudes :}
$$u(v)=v \sqrt{\left(\frac{u(\lambda)}{\lambda}\right)^2+\left(\frac{u(f_1)}{f_1}\right)^2}$$
$$u(\delta\lambda)=\delta\lambda \sqrt{2\left(\frac{u(\lambda)}{\lambda}\right)^2+\left(\frac{u(f_2)}{f_2}\right)^2+\left(\frac{u(v)}{v}\right)^2}$$
$$u(\text{d}\lambda)=\text{d}\lambda \sqrt{2\left(\frac{u(\lambda)}{\lambda}\right)^2+\left(\frac{u(f_3)}{f_3}\right)^2+\left(\frac{u(v)}{v}\right)^2}$$


\section{Mesure de la biréfringence d'une lame (tampon)}
Si la spectromètrie permet dans un premier de temps de déterminer des longueurs d'onde et d'étudier le spectre de différentes sources lumineuses, on peut ensuite s'en servir pour mesurer certains paramètres physiques, on va ici s'intéresser à la biréfringence d'une lame d'une épaisseur donnée.


\experience{Analyse du spectre cannelé}{}{}{
\textbf{Matériel :}
\begin{itemize}
    \item Différentes lames biréfringentes sur leur support (boîte en bois). Notamment une lame de quartz parallèle $e=1.53$ mm
    \item Deux polariseurs
    \item Un diaphragme
    \item Lampe Quartz-Iode
    \item spectromètre
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.2\textwidth]{fig/mesure_birefringence.png}
    \caption{Montage de la mesure de biréfringence}
    \label{fig:biref}
\end{figure}

On place successivement la lampe Quartz-Iode, le diaphragme, un polariseur à 45, la lame de quartz, l'analyseur croisé avec le polariseur puis une lentille pour focaliser le faisceau sur l'entrée de la fibre optique du spectromètre.

\smallbreak
On observe alors sur le spectromètre avec un temps d'acquisition de 100ms et un moyennage sur 5 acquisitions un spectre cannelé. On observe $N$ cannelures entre $\lambda_1$ et $\lambda_2$ en déduit :
$$n_e-n_o=\frac{N}{e}\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}$$
}
\textbf{Incertitudes :}

$$u(\Delta n)=\Delta n \sqrt{\left(\frac{u(\lambda_1)}{\lambda_1}\right)^2+\left(\frac{u(\lambda_2)}{\lambda_2}\right)^2+\left(\frac{u(\Delta\lambda)}{\Delta\lambda}\right)^2}$$
\end{document}
