\documentclass[10pt,a4paper]{article}

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\title{MP15 -- Production et mesure de champ magnétique}
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\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
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\newcommand{\dv}[2]{\frac{\text{d}#1}{\text{d}#2}}
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\date{\today}

\begin{document}

\titre{Aurélien Goerlinger}{Yohann Faure}{}{}

\subsection*{Commentaires du jury}
\begin{itemize}
    \item 2017 : La mesure de champs de différents ordres de grandeur peut être intéressante. L'utilisation d'un électroaimant nécessite de savoir justifier le choix des pièces polaires, les non-linéarités champ-courant.
    \item 2015, 2016 : La sonde à effet Hall est souvent le seul instrument de mesure présenté dans ce montage. D'autre part, les mesures de champs magnétiques ne sont pas limitées à ceux qui règnent dans l'entrefer d'un électroaimant.
    \item 2013, 2014 : La sonde à effet Hall est souvent le seul instrument de mesure présenté dans ce montage. Trop de candidats ignorent son principe de fonctionnement. D'autre part, les mesures de champs magnétiques ne sont pas limitées à ceux qui règnent dans l'entrefer d'un électro-aimant. L'étalonnage de l'électroaimant permet cependant une étude quantitative.
    \item 2012 : Cette année encore, l'utilisation de la sonde à effet Hall a été mieux maîtrisée et les expériences présentées plus variées. Les différentes stratégies de production de champ magnétique peuvent être mises en regard des applications éventuelles.
    \item 2010 : La sonde à effet Hall est souvent le seul instrument de mesure présenté dans ce montage. Trop de candidats ignorent son principe de fonctionnement. D'autre part, les mesures de champs magnétiques ne sont pas limitées à ceux qui règnent dans l'entrefer d'un électro-aimant...
    \item 2007 à 2009 : La maîtrise du maniement de la sonde de Hall et une connaissance sommaire de son principe de fonctionnement sont indispensables.
    \item 2005 : L'ordre de grandeur de la composante horizontale du champ magnétique terrestre être connu. Il en est de même de l'existence d'un décalage systématique du zéro d'une sonde à effet Hall également.\\
    Jusqu'en 2000, le titre était : Production et mesure de champs magnétiques de divers ordres de grandeur.
    \item 2000 : L'usage de l'électroaimant occasionne de grosses erreurs, souvent dues à la non-linéarité de la réponse des pièces en matériau ferromagnétique. Correctement alimentés, de petits électroaimants (comme ceux qui sont disponibles) créent pour un entrefer usuel (e = 1 cm) un champ de l'ordre d'une fraction de tesla (B = 0,3 T). Trouver des ordres de grandeur différents doit conduire à une analyse critique immédiate des opérations effectuées. De même la formule donnant B proportionnel à 1/e, N et I suppose en particulier que la carcasse et l'entrefer forment un tube de flux de section constante, ce qui est rarement justifié, en particulier avec des pièces polaires tronconiques. L'emploi d'un teslamètre à sonde de Hall exige un minimum de soin (réglage du « zéro », orientation...).
\end{itemize}

\subsection*{Bibliographie}
\begin{tabular}{@{\livre}p{0.48\linewidth} @{\ $\longrightarrow$ \ }p{0.48\linewidth}}
\textit{Dictionnaire de physique. Tome 4. Électricité et application}, \textbf{Donnini et Quaranta}  & Tout. \\
\end{tabular}

\tableofcontents

\newpage

\section*{Introduction}

Le but de ce montage est d'illustrer la production et la mesure de champ magnétique, l'utilisation de champ magnétique en science étant primordial dans la recherche fondamentale. En effet on a par exemple besoin d'énormes champs magnétiques (plusieurs Teslas, qui rappelons le est une grosse unité) dans CMS (Compact Muon Solenoïd) afin d'étudier la structure des noyaux d'atomes.

Il est aussi nécessaire dans la vie de tous les jours, pour faire des bousolles, des disques dur, des magnets en forme de dino sur les frigos. Dans ces trois derniers cas, on parle d'aimants permanents.

\section{Production de champ permanent}

Les matériaux ferromagnétiques on la propriété de garder un champ magnétique rémanent lorsqu'ils ont été soumis à un champ extérieur.

\manip{Montrer un magnet dino, visualiser des lignes de champ sur un aimant néodyme et autres. Alignement des petites bousolles sur les lignes de champ (couple, tout ça tout ça).}

ODG de champ :

\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
    Matériaux & B$_{rémanent}$ (T) & H$_{cohercitif}$ (kA/m) & remarque & valeur mesurée\\
    \hline
    Fer & 0.01 & 10 & aimants historiques & \\
    Ferrites & 0.1 & 200 & moins chers & \\
    Bore/Néodyme & 1 & 1500 & Terres Rares & \\
\end{tabular}

Vérifions ces ordres de grandeur tout de suite, à l'aide de ce qui est pour le moment une jolie boite noire : un teslamètre.

\experience{Mesurer des champs magnétiques}{}{30s}{
On fait bien le zéro dans le blindage adapté, et on fait la mesure en montrant que la variation dans l'espace est chelou et difficilement controlable.
}

Les aimants permanents, on s'en sert dans les petits moteurs, les disques durs et les haut parleurs, mais on ne contrôle pas grand choses. Pour avoir un meilleurs contrôle de la forme des lignes de champ et de leur intensité, on utilise des électroaimants.

\section{Production contrôlée de champ}



Les équations de Maxwell prévoient qu'un courant créé un champ magnétique.

$${\overrightarrow{\text{rot}}} \vec B=\mu_0\vec{\jmath}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$$

\manip{Constater l'existence de champ magnétique si on prend une bobine de Helmoltz et que l'on y met quelques ampères. Prendre deux bobines de Helmoltz et montrer que le champ est nettement plus dirigé.}


\subsection{Champ créé par une bobine sur son axe}

\textcolor{gray}{C'est la partie qui peut sauter si on a pas le temps, la préparer en dernier}\\
\livre Quaranta 4 p.321\\

\paragraph{Principe}
On a une bobine dans laquelle on fait passer un courant constant, on peut alors caluler le champ B avec les symétries et la loi de Biot et Savart. On obtient la distribution :$B=\frac{\mu_0NI}{2R}(1+\frac{x^2}{R^2})^{-\frac{3}{2}}$
\paragraph{Hypothèses}
\begin{itemize}
    \item Bobine plate, petite
    \item Sur l'axe
\end{itemize}


\experience{Mesure du champ créé par une bobine sur son axe}{Quaranta 4 p322}{}{On utilise le dispositif Jeulin des bobines de Helmotz P77.4 en utilisant une seule et le teslamètre commercial. On trace $B(x)=a(1+\frac{(x-b)^2}{R^2})^{-\frac{3}{2}}$.}
Le paramètre b permet de rendre de compte d'un mauvais repérage du centre, le paramètre a permet de remonter à $\mu_0$ connaissant N,I et R que l'on mesure expérimentalement.\\

\paragraph{Incertitudes: }
\begin{itemize}
    \item Mesure du champ
    \item Mesure du rayon
    \item Attention au fit non-linéaire
    \item Il est probable de tomber un peu à coté
\end{itemize}

\transition{On obtient un champ, plutôt faible et le champ n'a pas de propriétés particulières. Si on branche les deux bobines en série, en configuration Helmotz, on obtient un champ globalement homogène entre les deux bobines. Si on les excite en inverse (Anti-Helmotz), on obtient un gradient de champ constant. Quoiqu'il arrive, on obtient un champ relativement faible. Mais on voit que le champ est proportionnel à $\mu$, on va donc utiliser un matériau ferromagnétique. Cela a pour autre avantage de nous permettre de canaliser les lignes de champ}
\textcolor{gray}{Si on doit présenter cela, la configuration anti-Helmotz est plus intéressante car on forme un gradient constant (et un champ constant on le fait après) }

\subsection{Électroaimant}

Comment on fait pour canaliser et avoir un champ bien vénère ? On fait un électroaimant en canalisant les lignes de champ avec un ferromagnétique.

\remarque{Le ferromagnétisme}{
L'utilsation d'un milieu ferro a un but double : amplifier la valeur du champ par $\mu_r$, qui peut monter jusqu'à 5000 pour du fer, et canaliser le flux magnétique créé pour le concentrer dans un entrefer.
}

Le champ dans l'entrefer vaut (\livre Quaranta IV p.149), avec $e$ la largeur de l'entrefer, $l$ la longueur du matériaux ferro, $N$ le nombre de spires de l'électroaimant, et $I$ l'intensité dedans.

\begin{equation}
    B=\frac{\mu_0NI}{e}\frac{1}{1+\frac{l}{e\mu_r}}
\end{equation}

Mais en faisant l'hypothèse d'un $\mu_r$ grand on a

\begin{equation}
    B=\frac{\mu_0NI}{e}
\end{equation}

\paragraph{Hypothèses}
\begin{itemize}
    \item Entrefer petit (pas de perte de ligne de champ) et pièces plates
    \item Matériau doux
    \item loin de la saturation
    \item entrefer suffisamment grand (énergie dans l'entrefer et pas dans le circuit) : $e\gg \frac{\ell}{\mu_r}$
\end{itemize}


\experience{Champ créé par un électroaimant}{Quaranta 4 p.172}{}{On utilise l'électroaimant habituel, on mesure le champ créé au teslamètre\footnote{Deux écoles : soit on le fixe et il ne bouge plus jamais (pas très pratique), soit on l'approche à chaque fois et on fait la mesure dans les deux sens pour enlever l'effet des soudures (je préfère celle là perso)}. Il y a deux études possibles : B=f(e) et B=f(I)\\
\textbf{B=f(I)} : indispensable car c'est l'étalonnage de l'électroaimant pour la suite. On fait varier l'intensité, toujours en montant\footnote{\#hystérésis} et on mesure le champ créé. On doit obtenir une droite au début puis on voit apparaître l'effet de saturation du ferro doux qui compose les pièces et le circuit magnétique. On fait un fit par un polynôme d'au moins ordre 3. celà sera notre étalonnage pour la suite du montage. Penser à noter l'épaisseur à laquelle on l'a fait si on fait l'étude suivante.\\
\textbf{B=f(e)} : Moins important, mais reste sympa, à voir si on a le temps de faire les points en préparation. En choisissant bien le point à faire en live, il peut rentrer dans les deux études\footnote{Prendre le point à l'intensité à laquelle on a fait l'étude d'épaisseur et à l'épaisseur pour laquelle on a fait l'étude en intensité}. Il peut être difficile de mesurer directement l'entrefer donc on met au contact les deux pièces (courant coupé) et on mesure la distance $e_0$ entre les bobines. On mesure ensuite les distances $e'$ entre les deux bobines et on a $e=e'-e_0$. On trace $B=f(\frac{1}{e})$, le coefficient directeur est $\mu_0NI$, on peut ainsi remonter à N, qui vaut environ 1300-1400, pas de valeur constructeur.}

\textbf{Incertitudes :}
\begin{itemize}
    \item Position de la sonde
    \item Distance mesurée au pied à coulisse
    \item Intensité à l'ampèremètre
\end{itemize}

\remarque{Remarques en tous genres}{
\textbf{Approximations :} si $e$ trop grand, tout le champ ne passe pas dans l'entrefer. Si $e$ trop petit, on rate l'approximation. Il faut trouver un entredeux.

\textbf{Aimantation rémanente :} modèle affine !

\textbf{Soudure :} on retourne le teslametre. Ou alors on montre que c'est négligeable et CIAO !!
}



On sait donc créer des champs magnétiques, depuis le début on a utilisé un teslamètre commercial auquel on fait confiance pour mesurer ces champs magnétique. Il est maintenant temps de voir comment faire la mesure de ces champs. Pour cela, on va utiliser l'électroaimant étalonné et utiliser deux types de sondes.

\section{Mesure de champ}

\subsection{Fluxmètre}
\livre Quaranta tome 4 p189, p229 et 215

Une première méthode consiste à exploiter la loi d'induction de Faraday : 
\begin{equation}
    e=-\dv{\Phi}{t}
\end{equation}

Pour cela, on considère une bobine plate (par exemple la bobine P50.8) constituée de $N$ spires chacune de section $S$. On appellera abusivement cette bobine \textit{fluxmètre}.

Si on fait passer cette bobine d'une région où $\vb{B}=\vb{0}$ à une région où $\vb{B}=\vb{\text{cste}} \neq \vb{0}$ tel que $\vb{B} \parallel \vb{S}$ (donc normal à la surface $S$), elle subira une variation de flux
\begin{equation}
    \Delta \Phi = NSB
\end{equation}

La loi de Faraday nous dit alors qu'une tension $e$ va apparaître aux bornes de la bobine à cause de cette variation de flux, et que cette tension est donnée par :
\begin{equation}
    e=-NS\dv{B}{t}
\end{equation}
On voit ainsi qu'on peut remonter à la valeur de $B$ en intégrant $e$ : 
\important{\begin{equation}
    B=-\int \frac{e}{NS}\text{d}t
\end{equation}}

\remarque{Remarque}{Rigoureusement, l'intégration se fait entre 2 instants $t_0$ et $t_1>t_0$ donc on mesure $B(t_1)-B(t_0)$. Cependant, la bobine est initialement dans une région où $B(t_0)=0$, ce qui permet d'obtenir directement $B(t_1)$. 

On n'a donc pas besoin d'étalonnage !!}

Il reste la question de l'intégration de $e$. Pour cela, plusieurs montages sont possibles :
\begin{itemize}
    \item intégration mécanique : c'est le fluxmètre à aiguille
    \item intégration numérique via un ordinateur ou un oscilloscope
    \item intégration électronique via un AO en montage intégrateur donc la sortie $U$ est proportionnelle à l'intégrale de l'entrée :
    $$U=-\frac{1}{RC}\int e \text{d}t = \frac{NS}{RC}B$$
    Si on veut, on peut aussi directement utiliser un boîtier intégrateur.
\end{itemize}

\remarque{Fonctionnement de l'intégrateur}{
\includegraphics[width=.9\linewidth]{fig/inte1.png}

\includegraphics[width=.9\linewidth]{fig/Inte2.png}
}

\includegraphics[width=.5\linewidth]{fig/inte3.png}
\includegraphics[width=.5\linewidth]{fig/Inte4.png}


\experience{Mesure d'un champ magnétique avec un fluxmètre}{Quaranta tome 4}{}{
\textbf{Matériel :}
\begin{itemize}
    \item bobine plate P50.8 (on a alors $NS=0.4$ m$^2$
    \item électroaimant avec des pièces cylindriques avec son alimentation
    \item boîtier intégrateur P42.45 relié sur $R_\text{int}=100$ k$\Omega$ avec son fidèle destrier le boîtier d'alimentation P42.39
    \item voltmètre
\end{itemize}
\textit{Remarque : On prend un boîtier intégrateur au lieu d'un AO avec un RC fait maison afin de minimiser l'intégration de la tension d'offset de l'AO et de son courant de polarisation.
\textbf{Penser à décharger le condensateur avant chaque mesure avec le bouton RàZ.}}

Choisir un écartement entre les pièces de l'électroaimant, par exemple 2 cm. Ne plus y toucher.

Faire circuler $I=1$ A dans l'électroaimant. Éloigner la bobine de l'électroaimant, appuyer sur la bouton RàZ de l'intégrateur puis amener la bobine dans l'entrefer.
\textit{On pourra bricoler un système avec des potences par exemple pour s'assurer que la bobine reste normale aux pièces de l'électroaimant.}

Noter la valeur $U$ mesurée au voltmètre en sortie de l'intégrateur. 

Répéter l'opération pour des $I$ croissantes (évite l'hystérésis) allant de 1 à 8 A. Tracer $b=f(I)$ pour retrouver la relation linéaire qu'on avait déjà avec le teslamètre.
}


\remarque{Remarque}{Le fluxmètre ne mesure qu'une moyenne spatiale et n'est donc utile que pour des champs uniformes.}


\subsection{Effet Hall}
\livre Quaranta tome 4, p133 (voir également tome 3)


Il est possible de mesurer un champ magnétique autrement qu'avec un fluxmètre. Ainsi, le teslamètre utilisé précédemment utilise un autre phénomène physique que l'induction de Faraday : l'effet Hall.

Lorsque l'on soumet un matériau parcouru par un courant $I_{sc}$ (de densité $\vb{j}$ à un champ $\vb{B}$, on observe en régime permanent l'apparition d'une ddp $U_H$ perpendiculaire à la fois à $\vb{j}$ et $\vb{B}$. En gros, $\vb{j}$ indique le déplacement des électrons qui subissent une force de Laplace volumique $\vb{f}=\vb{j}\wedge \vb{B}$ et qui vont donc tous être déviés vers la même face du matériau. On a alors une accumulation de charges négatives d'un côté et de charges positives de l'autre donc paf ça fait des chocapics (et une ddp par la même occasion).

\begin{center}
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{fig/effet_hall.png}
\end{center}



Cette tension dite de Hall est donnée par :
\begin{equation}
    U_H=\frac{I_{sc}B}{neb}
\end{equation}
avec $e$ la charge élémentaire et $n$ la densité électronique.

Les sondes à effet Hall sont ainsi plutôt composées de semi-conducteurs ($n \simeq 10^{21}$ m$^{-3}$) que de métaux (($n \simeq 10^{29}$ m$^{-3}$).


\experience{Sonde à effet Hall}{Quaranta tome 4 p133}{10 min}{
\textbf{Matériel :} Comme d'hab + plaquette P64.30 alimentée en 12 V par le générateur P64.37.


On refait la manip du fluxmètre mais avec la sonde à effet Hall. On fait confiance à l'étalonnage de l'électroaimant qui donne $B$ pour une valeur donnée du courant le parcourant.

On mesure $U_H$ et on trace $U_H=f(B)$. On peut alors remonter à $n$.

\textit{Le fait de réutiliser l'étalonnage de l'électroaimant peut poser problème si on a changé de courant envoyé car on a de l'hystérésis. On peut pallier à ce problème en mesurant de nouveau $B$ avec un teslamètre à chaque fois mais c'est difficile de tout faire tenir dans l'entrefer. De plus c'est un peu bête d'étudier une sonde à effet Hall avec une autre sonde à effet Hall mais le but c'est de vérifier $U_H=f(B)$ et de voir si on trouve un bon OdG pour $n$.}
}

\remarque{Remarque}{Puisque cette sonde nécessite un étalonnage, on l'étalonne plutôt avec un fluxmètre qui nous donne B sans étalonnage.

Une solution serait donc de mesurer (pour des I croissants par exemple) le champ B au fluxmètre en fonction du courant I afin d'avoir une courbe d'étalonnage. Ensuite on démagnétise l'électroaimant (faire des allers-retours ! Pas juste ramener I à 0...) et pour les mesures en live, on refait bien avec I croissant. On mesure I et on remonte à B grâce à la courbe précédemment établie.
}



\section*{Conclusion}

On a maintenant un dispositif sympa pour produire de manière contrôlée un champ magnétique. Cependant on voit que la production de champs intenses s'accompagne de grosses intensités électriques et/ou nécessite de fortement localisé les lignes de champ. Cependant dans CMS on met 5T dans une cavité de plusieurs mètres\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_Muon_Solenoid}}. Il faut donc trouver des moyens de générer de tels champs, via la supraconductivité !

\end{document}