Intégration et probabilités

Introduction (but de la théorie, bref historique en mathématiques et physique, développements récents) ; illustration des principaux théorèmes du cours par l'exemple introductif d'un joueur au casino ; panorama du contenu du cours


• Fondements de la théorie des probabilités
  • Rappels théorie de la mesure (tribus, classe monotones, mesures)
  • Espaces de probabilité
  • Variables aléatoires
  • Exemples de lois discrètes : uniforme, Bernoulli, binomiale, multinomiale, géométrique, Poisson ; lois des événements rares ; problème des chapeaux ; exemple de l'échantillonnage d'une permutation uniforme par l'algorithme de Pitman et loi du nombre de cycles
  • Rappels du théorème de Radon–Nikodym. Exemples de lois continus sur R : Dirac, uniforme, exponentielle, normale, Cauchy ; discussion rapide des lois stables et leur rôle dans les théorèmes limites et lois universelles physiques
  • Rappels de l'intégration contre une mesure et théorèmes de convergence sous le signe intégrale. Espérance d'une variable aléatoire (exemple d'utilisation de la linéarité dite méthode du premier moment, et méthode probabiliste)
  • Moments, inégalité de Markov (et Chebychev et Chernov)
  • Fonction de répartition et théorème de Stieltjes
  • Fonction caractéristique et transformée de Laplace
  • Fonction génératrice
  • Problème de la caractérisation de la loi


• Indépendance
  • Indépendance d'événements et de tribus
  • Tribu engendrée par une variable aléatoire
  • Indépendance de variables aléatoires
  • Suite infinie de variables aléatoires indépendantes (construction dyadique partant de l'existence de la mesure de Lebesgue ; discussion du cas général du théorème d'extension de Kolmogorov partant du théorème de prolongement de Carathéodory)
  • Sommes de variables aléatoires indépendantes
  • Loi faible L² des grands nombres ; loi faible pour nombre de cycles d'une permutation uniforme ; démonstration constructive de Bernstein du théorème d'approximation de Weierstrass
  • Lemme de Borel–Cantelli ; loi du 0–1 de Borel
  • Loi du 0–1 de Kolmogorov
  • Exemples d'applications (motifs dans une suite i.i.d., etc.)


• Convergence de suites de variables aléatoires
  • Modes de convergence usuels (p.s., L^p, probabilité)
  • Loi forte des grands nombres
  • Convergence de mesures (forte, variation totale) et convergence en loi. Lemme de Scheffé et caractérisations
  • Théorème de Glivenko–Cantelli
  • Théorème de Lévy
  • Théorème-limite central. Planche de Galton
  • Comparaison des divers modes de convergence (théorèmes de Portmanteau, de Skorokhod)
  • Tension et théorème de sélection de Helly. Application au problème des moments de Hausdorff. Application au théorème de de Finetti pour les variables de Bernoulli


• Interlude : la transformée de Fourier
  • Rappels des théorèmes d'approximation par convolution
  • Définition de la transformée de Fourier pour les fonction intégrables
  • Inversion de Fourier
  • Utilisation pratique pour résoudre une EDP : exemple de l'équation de la chaleur
  • Formule de Plancherel et transformée de Fourier L². Mention rapide transformée de Fourier de mesures
  • Inégalité de Heisenberg et loi normale
  • Formule sommatoire de Poisson (et discussion rapide du formalisme des distributions de Schwartz) et théorème d'échantillonnage de Shannon (par la formule de repliement de spectre)


• Exemples de modèles aléatoires
  • Marche aléatoire simple dans Z^d : fonction de Green et décomposition par excursions d'une trajectoire
  • Théorème de récurrence de Pólya dans Z^d. Cas plus général dans Z
  • Processus de branchements : phases ; représentation par une marche aléatoire ; conditionnement à la survie ou à l'extinction ; taille de l'arbre

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