Le programme de Langlands a beaucoup progressé depuis les années 2000, notamment avec la preuve de la correspondance de Langlands locale, la correspondance de Langlands globale pour les corps de fonctions, le lemme fondamental et en particulier la correspondance de Langlands locale p-adique pour GL(2,Qp), initiée par C. Breuil, et qui est une avancée majeure en théorie des nombres. L'une des applications les plus frappantes de cette correspondance est la preuve (indépendamment par M. Emerton et M. Kisin) de nombreux cas de la conjecture de Fontaine-Mazur, sur la modularité de certaines représentations p-adiques de dimension 2 du groupe de Galois absolu de Q. Le programme catégorique, avec la conjecture de Fargues-Scholze, a aussi récemment émergé comme un cadre fondamental pour formuler des résultats classiques et en montrer de nouveaux. Des cas génériques de cette conjecture ont déjà été montrés, mais le coeur de la conjecture est toujours l'objet de recherche active et promet d'avoir des applications au programme de Langlands mod p au delà de GL(2,Qp). Les progrès récents combinent des idées et techniques de différents aspects du programme de Langlands : représentations locales, représentations mod p et automorphes, géométrie et cohomologie des espaces de Rapoport-Zink et des variétés de Shimura, calculs d'espaces de déformations, champs d'Emerton-Gee, et le programme géométrique inspiré du travail de Drinfeld-Gaitsgory et de leurs collaborateurs.
Le but du projet ANR Practical p-adic Langlands est de rassembler un large spectre de mathématiciens de France, couvrant l'expertise requise pour progresser dans ces deux directions liées, et apportant chacun leur expertise et connaissances spécifiques. La nouveauté du projet réside d'une part dans la diversité des domaines de théorie des nombres et de géométrie arithmétique qui sont inclus, et d'autre part dans l'utilisation de méthodes informatiques pour vérifier des conjectures et suggérer des directions nouvelles.