Intégration et probabilités
(janvier–mai 2018)
Ce cours propose une introduction à la théorie des probabilités ainsi que quelques rappels et compléments de théorie de la mesure et de l'intégration, notamment la transformée
de Fourier.
Chargés de TDs : Alexandre Bordas et Marie Lhuissier.
[sujet-partiel-2018]
[sujet-examen-2018]
Site web consacré au 250e anniversaire de Joseph Fourier (né le 21 mars 1768 à Auxerre):
[Fourier 2018]
Programme du cours dispensé en 2018 :
- Fondements de la théorie des probabilités
- Espaces de probabilité
- Variables aléatoires
- Exemples de lois
- Espérance d'une variable aléatoire
- Fonction de répartition et théorème de Stieltjes
- Fonction caractéristique et transformée de Laplace
- Indépendance
- Indépendance d'événements et de tribus
- Tribu engendrée par une variable aléatoire
- Indépendance de variables aléatoires
- Suite infinie de variables aléatoires indépendantes
- Sommes de variables aléatoires indépendantes
- Lemme de Borel–Cantelli
- Loi du 0–1 de Kolmogorov
- Exemples d'applications
- Convergence de suites de variables aléatoires
- Modes de convergence usuels
- Loi forte des grands nombres
- Convergence en loi et théorème de Lévy
- Théorème de Glivenko–Cantelli
- Théorème-limite central
- Comparaison des divers modes de convergence
- Interlude : la transformée de Fourier
- Définition pour les fonction intégrables
- Formule de Plancherel et transformée de Fourier L2
- Inégalité de Heisenberg et loi normale
- Formule sommatoire de Poisson et théorème d'échantillonnage de Shannon
- Equation de la chaleur
- Exemples de modèles aléatoires
- Processus de branchements: phases ; représentation par une marche aléatoire ; conditionnement à la survie ou à l'extinction ; taille de l'arbre
- Marche aléatoire simple dans Zd : théorème de Pólya
- Grandes déviations élémentaires : théorème de Cramér
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