Enseignement Isao Sauzedde page personnelle

Après le vol de mon ordinateur perso, j'ai perdu pas mal de .tex,
certains documents ne seront donc plus corrigés...

Isao Sauzedde

Doctorant au LPSM
email: prénom.nom@ens-lyon.fr
Bureau 225, couloir 16-26
4 place Jussieu, Paris 5eme
N'hésitez pas à me contacter :)





Après un M1 de mathématiques à l'ENS de Lyon, je suis venu à Paris pour suivre le master de probabilités fondamentales du LPMA (actuel LPSM). Je travaille actuellement là-bas, sous la tutelle de Thierry Lévy, avec qui j'ai commencé ma thèse en Septembre.
Ma formation est principalement en processus stochastiques, et de manière plus marginale en géométrie.



Actuellement Je calcule des enlacements de Browniens autour de lacets en trois dimensions. Un des objectifs est d'obtenir une formule exacte: je sais que l'enlacement est dans le domaine d'attraction de Cauchy, et je connais le paramètre. Cependant, la structure de très faible corrélation entre les enlacements (i.e. autour de différents lacets) suggère l'importance d'étudier cette enlacement dans une échelle "gaussienne" plutôt que "Cauchy".
L'idée par la suite serait d'étudier une connexion "engendrée" par des trajectoires browniennes porteur d'une charge magnétique, réparties comme un processus poissonien, puis idéalement d'écrire l'action correspondante (même à un niveau informel).

Cest bientôt la fin de mo premier TD, "Algèbre linéaire 2, espaces affines" (M270, deuxième année de licence, la page du professeur)
Au second semestre, je poursuis avec "Séries entières, intégrales à paramètre, applications aux équa diff" (M261, même année). Sur mes trois années de thèse, j'aimerais donner des TD dans à peu près tous les domaines des mathématiques, et à peu près tous les niveaux universitaires (j'aimerais bien aussi avoir des "non spécialistes" au moins une fois). Il était plus facile au début de me concentrer sur les L2, c'est un niveau que je connais bien puisque j'ai plusieurs fois fait passer des oraux blancs de concours. De plus, c'est un niveau sur lequel j'ai évidemment beaucoup de recul, sans qu'il y ait pour autant les inconvénients de la L1 (élèves très nombreux, et parfois peu motivés à ce qu'on m'a dit, mais surtout nécessité de "parachuter" des notions sans pouvoir entrer dans les détails beaucoup trop techniques -je pense évidemment à tout ce qui touche à la logique)




Ma thèse est principalement portée sur la quantification stochastique, dans le cadre des théorie de jauge en trois dimensions. Actuellement, ma démarche consiste à construire une classe de "connexions" aléatoires assez singulières: du point de vue des holonomies, où l'espace des points est un ensemble de chemins, ces connexions jouent le rôle des fonctions en escalier. J'espère prouver ou infirmer rapidement un résultat de densité. Celui-ci n'est pour l'instant pas clair: mon schéma de preuve actuel utilise une (hypothétique) continuité (relativement à la variable "chemin") de l'holonomie pour la topologie uniforme. Or je ne sais prouver cette continuité que pour la topologie en 1 variation.
Etant fixée une géométrie riemanienne sur ma variété, il est ensuite relativement aisé de produire de telles connexions aléatoirement. Mon but serait ensuite d'étudier des limites quand les singularités s'accumulent ("on améliore l'approximation par morceaux, jusqu'à obtenir à la limite une fonction continue"). En choisissant judicieusement les lois, j'espère supprimer la dépendance en certaines composantes de la métrique (avoir une invariance conforme par exemple). A la limite, d'autres dépendances sont éliminiées.
Idéalement, j'aimerais que la limite ne dépende que de la "difféologie" de la variété (éventuellement augmentée d'un framing).

Auparavant, je me suis consacré quelques temps à l'étude de noeuds aléatoires en dimension 3 -plus précisément à la localisation d'invariants de noeuds en régularité 1+α (par une approche "processus stochastiques" plutôt que "méca stat"):
Mes noeuds sont obtenus en considérant des processus "cinétiques" qui ont été conditionnés à revenir à leur état initial en temps fixé.
En modifiant la cinétique (et le temps de retour), on interpole entre des boucles non cinétiques (typiquement, browniennes, pour lesquelles des résultats ont été obtenus par Marc Yor par exemple) et des noeuds quasi déterministes lisses. Certains invariants de noeuds peuvent être définis stochastiquement dans un cadre cinétique plus général que le cadre déterministe (l'approche "chemin rugueux" est un peu délicate ici). D'autre part, on peut espérer des résultats de type "théorie de l'indice", c'est à dire que certaines marginales de la loi des invariants soient indépendantes de la cinétique. En particulier, si la limite quasi déterministe possède la même topologie quelque soit la métrique initiale (ou pour une certaine classe de métrique), la marginale est indépendante de la métrique (dans la classe fixée) et donne donc un invariant topologique (ou pas) de la variété. On peut alors espérer que l'autre limite permette de localiser cet invariant.

J'ai aussi pour projet de me pencher à nouveau sur les théorèmes de l'indice (que j'avais déjà étudié en stage de fin de master), mais cette fois-ci sur des variétés "polygonales", avec en tête l'objectif d'obtenir des preuves ne faisant intervenir que des notions relativement simples, par des méthodes d'approximation polygonale de la variété riemanienne initiale.
Sur de telles variétés, j'espère pouvoir remplacé judicieusement l'espace des chemins par un espace fini, et éliminer ainsi la plupart des problèmes analytiques. Ainsi, j'espère également pouvoir donner une définition rigoureuse et stochastique de certaines intégrales "de chemin" (par exemple pour Chern-Simons).



Le 9 Mars (2018) , j'ai présenté un exposé lors du groupe de travail chemins rugueux non commutatifs, où j'ai présenté les q-gaussiennes. Voici les notes de mon exposé. Il s'agissait de notes personnelles et peu présentables (pleine de coquilles, d'erreurs mathématiques et de fautes d'orthographe). Malheureuseument, suite au vol de mon ordinateur juste après la casse de ma clé USB, il n'y aura pas de nouvelle version.



Le 2 Juin, comme en 2015 et 2017, je suis allé donner des oraux blancs bénévolement aux élèves de PC* du lycée Blaise Pascal à Clermont-ferrand. La liste des exercices corrigés est encore à venir, mais voici déjà plus spécifiquement l'exercice que j'ai inventé sur des sommes de gaussiennes. Lui aussi mériterait d'être mis au propre. Il faut savoir que certaines questions relatives à cet exercice m'intéresse toujours, mais que bien évidemment la partie "effectivement attendue lors de l'oral" est bien moins importante. J'attend surtout les développements asymptotiques, la mise en équations puis sous forme matricielle, l'identification comme matrice de Vandermonde. Idéalement, la question suivante est abordée et l'élève pense à chercher les termes sous la forme u(2n+i)=an u(i).
J'ai pour projet l'an prochain d'aller donner un ou deux exposés dans cette prépa, et éventuellement, "d'encadrer" un groupe de TIPE d'élèves intéressés par des questions en lien avec ma thèse (à un niveau adapté évidemment).




Mon parcours

Quelques liens:
La page d'un ami qui m'a notamment mené à faire de la géométrie, Pierre Perruchaud.
Une des pages de l'université de Genève, qui met de nombreux cours vidéo en libre accès sur internet (en streaming, et téléchargeable): Unige