On définit une nouvelle t-structure sur une catégorie triangulée motivique au sens de Cisinski-Déglise - ou de manière équivalente un foncteur homotopique stable monoidal au sens d'Ayoub - dès lors que la base admet une fonction de dimension. Cette t-structure a de très bonnes propriétés, étend les t-structures homotopiques connues dans le cas où la base est un corps parfait, et généralise aussi la t-structure homotopique perverse d'Ayoub, avec laquelle elle coincide dans un certain nombre de cas. Le théorème principal montre que le coeur de DM(S) pour cette t-structure est une sous-catégorie pleine explicite du coeur de SH(S) pourvu que S soit de caractéristique 0. On étudie aussi en profondeur la structure des objets du coeur, qui définissent une généralisation de la notion de faisceaux invariants par homotopie avec transferts due à Voevodsky.

On définit et étudit un spectre en anneau - au sens strict - qui représente la cohomologie syntomique, initiée par Fontaine-Messing et généralisée suivant Beilinson par Nizioł et Nekovář. On étudie à l'aide du travail de Drew la théorie des modules qui lui est associée avec une détermination partielle de la version relative au corps de base en termes de représentation potentiellement semi-stables. Au passage, on généralise des résultats précédemment acquis sur la suite spectrale de descente et on étend le théorème de comparaison semi-stable aux motifs mixtes, abélien (Nori) et triangulés (Voevodsky).

Nouvelle introduction avec une partie historique détaillée sur la formule de Riemann-Roch. Pour résumer l'article: on généralise la formule de Riemann-Roch suivant à la fois la méthode de Grothendieck et le formalisme topologique des théories cohomologiques orientées. Le point clé est la considération de la propriété de pureté absolue pour une théorie cohomologique représentable. Dans cette voie, on généralise un résultat d'invariance analytique suivant Wildeshaus et Gabber. La formule de Riemann-Roch qu'on obtient est accompagnée d'une nouvelle formule, dite résiduelle: elle fait intervenir un morphisme résidu, déjà étudié précédemment et dont on poursuit l'étude ici en le liant par exemple aux résidus de Tate. De nombreux exemples de la formule de Riemann-Roch sont donnés notamment une nouvelle démonstration d'une formule de Quillent calculant la classe de cobordisme d'un fibré projectif.

D'après sa construction même, la théorie des complexes motiviques de Voevodsky sur un corps parfait vient avec une t-structure qu'il a appelée la t-structure homotopique (car elle ne coïncide pas avec la t-structure motivique). Dans mon travail de thèse, j'ai montré comment définir la version stable (i.e. non effective) de cette t-structure, et j'ai identifié son coeur avec la théorie des modules de cycles de Rost (cf. ici).
Dans le cadre axiomatique des foncteurs homotopiques stables, Ayoub a introduit une version relative, sur un schéma de base S, de cette t-structure qu'il appelle la t-structure homotopique perverse. Il avait conjecturé il y a quelques années, lors d'exposés, que le coeur de cette t-structure, appliquée à la bonne version de DM(S).
C'est ce qu'on prouve dans cette prépublication, pour un schéma S de caractéristique 0, étant donné qu'il existe maintenant une bonne version de la categorie des motifs mixtes sur S suite à un travail (en préparation) de D.C. Cisinski et moi-même.

(premier jet) Ce preprint est une généralisation du preprint "Orientation theory...": en utilisant le formalisme des 6 foncteurs, on montre comment on peut associer à tout spectre absolu 4 théories cohomologiques/homologiques qui généralisent à la fois l'axiomatique de Bloch-Ogus et celle de Fulton-Macpherson. Le point clé est la construction de classes fondamentales dans un cadre très général qui induisent une, et même plusieurs, dualité. On en déduit plusieurs morphismes de Gysin ainsi que leurs formules de Riemann-Roch associées.