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Journée Cartes
Date : Le vendredi 14 mars 2014 Lieu : ENS de Lyon, site Monod, salle 435 (4ème étage) Contact : gregory.miermont@ens-lyon.fr |
©Jean-François Marckert |
Programme (cliquer sur les titres pour les transparents)
10h00 Café d'accueil10h30 -- 11h30 Éric Fusy : Comptage bijectif et profil des cartes simples
11h30 -- 11h45 Pause
11h45 -- 12h45 Jérémie Bouttier : Sur la fonction à deux points des cartes et hypercartes générales
Déjeuner
14h30 -- 15h30 Jérémie Bettinelli : Géodésiques dans les surfaces browniennes
15h30 -- 15h45 Pause
15h45 -- 12h45 Nicolas Curien : Sur la structure conforme des cartes planaires
Résumés
Eric Fusy (CNRS & Polytechnique)
Comptage bijectif et profil des cartes simples
Marc Noy a récemment montré que les séries génératrices M(t) et B(t) comptant respectivement (selon les arêtes) les cartes simples et les cartes biparties enracinées sont reliées par la formule très simple M(t)=1/(1-t*B(t)). En nous appuyant sur les cartes simples de face externe triangulaire, nous donnons une preuve bijective de cette formule.
Nous exploitons ensuite cette bijection pour montrer la convergence (après renormalisation par n^{1/4}) du profil de distance (au niveau des arêtes) des cartes simples aléatoires vers ISE (shifté) et du rayon vers la largeur de ISE. Travail en commun avec Olivier Bernardi et Gwendal Collet
Jérémie Bouttier (CEA et ENS)
Sur la fonction à deux points des cartes et hypercartes générales
Nous considérons la fonction à deux points des cartes et hypercartes générales, c'est-à-dire la série génératrice de celles ayant deux points marqués à distance prescrite. Les cartes considérées ici peuvent avoir des faces de degrés arbitraires, ce qui nécessite de nouvelles bijections. Nous obtenons des expressions exactes dans les cas suivants: cartes générales et biparties comptées selon le nombre d'arêtes, 3-hypercartes et 3-constellations comptées par leurs nombres d'hyperarêtes, et enfin cartes générales et biparties comptées à la fois par le nombre d'arêtes et par le nombre de faces.
Jérémie Bettinelli (CNRS & IECN)
Géodésiques dans les surfaces browniennes
Au cours de cet exposé, nous introduirons une classe d'espaces métriques aléatoires que nous appelons surfaces browniennes et qui généralisent la carte brownienne au cas de topologies plus compliquées que celle de la sphère. Plus précisément, ces surfaces (compactes, connexes, orientables, à bord) s'obtiennent comme limite d'échelle de quadrangulations biparties discrètes de la même surface à bord.
Dans un second temps, nous étudierons toutes les géodésiques partant d'un point distingué dans les surfaces browniennes et caractériserons certains ensembles privilégies en termes de géodésiques, de points du bord et de concaténations de géodésiques non homotopes à 0. Notre approche repose sur deux ingrédients principaux : on commence par étudier les géodésiques typiques en adaptant l'approche de Miermont utilisant sa "bijection bi-pointée" et on attrape ensuite toutes les géodésiques à l'aide d'une méthode d'emprisonnement par des géodésiques typiques.
Ces résultats généralisent les résultats de Le Gall sur les géodésiques de la carte brownienne.
Nicolas Curien (CNRS & UPMC)
Sur la structure conforme des cartes planaires
Consider a random triangulation T_n chosen uniformly over all triangulations of the sphere having n faces. The metric structure of T_n endowed with the graph distance has been studied in depth during recent years. In particular, Le Gall and Miermont recently proved that the metric space obtained from T_n by re-scaling all distances by n^{-1/4} converges towards a random compact metric space called ``the Brownian map''. In this talk, we will focus on another aspect of random triangulations. Indeed, T_n can naturally be considered as a random Riemann surface and one can study its ``conformal structure'' which is conjectured to be strongly linked to the Gaussian free field. I will present a path to study the conformal structure of random planar maps based on their Markovian exploration by an independent SLE_6 process.
