Résumé

L'objectif principal de DefIS est de faire avancer les connaissances sur les théories de champ intégrables. Peu de théories de champs sont intégrables. Leur étude s'est néanmoins révélée d'une grande importance pour la physique théorique. En effet, l'intégrabilité permet l'utilisation de techniques spécifiques pour calculer des résultats exacts. DefIS vise à construire le paysage complet des modèles sigma intégrables et à déterminer ses caractéristiques.

Repousser la frontière de nos connaissances sur les théories de champ intégrables

Peu de théories des champs ont la propriété d'être intégrables. Leur étude s'est néanmoins révélée d'une grande importance pour la physique théorique. La raison en est que l'intégrabilité permet l'utilisation de techniques spécifiques afin de calculer des résultats exacts. Cette propriété a été largement utilisée ces dernières années dans le contexte de la correspondance dite AdS / CFT. Dans ce cadre, le représentant le plus étudié du côté anti de Sitter de cette dualité est une théorie des cordes dont la dynamique est obtenue à partir d'un modèle sigma intégrable.

DefIS vise à construire le paysage complet des modèles sigma intégrables et à déterminer leurs caractéristiques.

L’approche originale de DefIS est de se focaliser sur les propriétés qui sont vraiment au cœur même de l’intégrabilité. Cela permet à la fois d’avoir la compréhension la plus fine possible de ces modèles et de construire d’autres modèles sigma dont l’intégrabilité est assurée d’emblée.

Les perspectives ouvertes par les tout derniers modèles sigma intégrables construits par la collaboration DefIS sont totalement nouvelles en ce sens que ces modèles apparaissent comme assemblant et couplant des modèles sigma intégrables « plus petits », qui jouent en quelque sorte le rôle de briques élémentaires, à la manière d’un LEGO ®.

Voyage au centre de l’intégrabilité des modèles sigma intégrables

Un outil central utilisé par la collaboration DefIS est celui d’une fonction rationnelle, la fonction twist. De manière imagée, qui dit Fonction twist dit Intégrabilité ! DefIS a ainsi construit et étudié des modèles sigma intégrables associés à des fonctions twist de plus en plus « complexes ». Des membres de la collaboration DefIS avaient déjà montré que déformer la fonction twist de modèles sigma intégrables connus permet de construire de nouveaux modèles sigma tout en préservant l’intégrabilité. Dans un premier temps, la collaboration a déterminé la fonction twist d’un modèle dont on sait qu’il est une déformation intégrable d’un modèle intégrable classique. Puis certaines symétries des modèles sigma intégrables ont été reliées de manière précise à cette fonction twist. En fonction du type de symétrie, cette analyse approfondie a été menée, soit sur un exemple précis, soit de manière générique. La plupart des modèles sigma intégrables connus depuis longtemps ou construits récemment, y compris par la collaboration DefIS, correspond à des fonctions twist dites à un site. Un verrou a alors été surmonté lorsque DefIS a obtenu des modèles sigma intégrables totalement nouveaux correspondant à une fonction twist avec un nombre arbitraire de sites.

Résultats

Le « paysage » des modèles sigma intégrables connus est profondément modifié et s’est enrichi grâce à la collaboration DefIS.

Ce qui caractérise une théorie des champs intégrable est l’existence d’un nombre infini de symétries. Une première classe de résultats importants obtenus par DefIS correspond à une description uniforme de certaines de ces symétries, associées à des charges conservées particulières, dites locales.

Jusqu’à récemment, il fallait faire tout le voyage jusqu’au cœur de l’intégrabilité pour voir la fonction twist associée à un modèle sigma intégrable donné. C’est le cas lorsque le modèle est défini par son action, comme par exemple l’action de la théorie des cordes mentionnée plus haut. Un résultat non prévu au départ de DefIS est que cette fonction est aussi présente au niveau de l’action. La fonction twist fait de plus le lien avec une approche très récente appelée Chern-Simons à quatre dimensions et qui a en particulier permis de retrouver d’une autre manière les modèles construits par la collaboration DefIS. L’approche de DefIS ouvre ainsi de nouvelles perspectives prometteuses.

People involved

Permanent members:

F. Delduc (CNRS and ENS de Lyon), M. Magro (ENS de Lyon) and B. Vicedo (initially at University of Hertfordshire, UK, now at the Department of Mathematics of the University of York, UK).

Non-permanent members:

S. Lacroix joined Defis in September 2015 as a PhD student (not funded by ANR). He prepared his PhD under the international supervision of B. Vicedo and myself. He defended it on July 2018 and is now a postdoctoral fellow at the University of Hamburg.
T. Kameyama joined DefIS as a postdoctoral fellow, on June 2016, just a few months after he defended his PhD, which was done under the supervision of K. Yoshida, in Kyoto. His contract has ended in September 2018.

List of publications

  1. October 2019: A unifying 2d action for integrable sigma-models from 4d Chern-Simons theory, F. Delduc, S. Lacroix, M. Magro, B. Vicedo, Lett. Math. Phys. (2020), DOI, [arXiv:1909.13824].

  2. September 2019: Ultralocal Lax connection for para-complex ZT cosets, F. Delduc, T. Kameyama, S. Lacroix, M. Magro, B. Vicedo, Nucl. Phys. B949, (2019), 114821, DOI, [arXiv:1909.00742].

  3. March 2019: Assembling integrable σ-models as affine Gaudin models, F. Delduc, S. Lacroix, M. Magro, B. Vicedo, JHEP 1901 (2019) 2019:17, DOI, [arXiv:1903.00368].

  4. November 2018: Integrable coupled σ-models, F. Delduc, S. Lacroix, M. Magro, B. Vicedo, Phys. Rev. Lett. 122, 041601 (2019), DOI, [arXiv:1811.12316].

  5. November 2018: Three-parameter integrable deformation of Z4 permutation supercosets, F. Delduc, B. Hoare, T. Kameyama, S. Lacroix, M. Magro, JHEP 1901 (2019) 109, DOI, [arXiv:1811.00453].

  6. July 2018: PhD Defense of S. Lacroix: Integrable models with twist function and affine Gaudin models, [arXiv:1809.06811].

  7. April 2018: Cubic hypergeometric integrals of motion in affine Gaudin models, S. Lacroix, B. Vicedo, C.A.S. Young, Adv. Theor. Math. Phys., Volume 24, Number 1, 155–187, (2020), DOI, [arXiv:1804.06751].

  8. April 2018: Affine Gaudin models and hypergeometric functions on affine opers, S. Lacroix, B. Vicedo, C. A.S. Young, Adv. Math. 350 (2019) 486-546, DOI, [arXiv:1804.01480].

  9. July 2017: Combining the bi-Yang-Baxter deformation, the Wess-Zumino term and TsT trabsformations in one integrable sigma-model, F. Delduc, B. Hoare, T. Kameyama, M. Magro, JHEP 1710 (2017) 212, DOI, [arXiv:1707.08371].

  10. March 2017: Local charges in involution and hierarchies in integrable sigma-models, S. Lacroix, M. Magro, B. Vicedo, JHEP 1709 (2017) 117, DOI, [arXiv:1703.01951].

  11. January 2017: Affine q-deformed symmetry and the classical Yang-Baxter sigma-model, F. Delduc, T. Kameyama, M. Magro, B. Vicedo, JHEP 1703 (2017) 126, DOI, [arXiv:1701.03691].

  12. December 2016: Generalized IIB supergravity from exceptional field theory, A. Baguet, M. Magro. H. Samtleben, JHEP 1703 (2017) 100, DOI, [arXiv:1612.07210].

  13. July 2016: Cyclotomic Gaudin models, Miura opers and flag varieties, S. Lacroix, B. Vicedo, Annales Henri Poincare 19 (2018) no.1, 71-139, DOI, [arXiv:1607.07397].

  14. June 2016: On q-deformed symmetries as Poisson-Lie symmetries and application to Yang-Baxter type models, F. Delduc, S. Lacroix, M. Magro, B. Vicedo, J.Phys. A49 (2016) no.41, 415402, DOI, [arXiv:1606.01712].

  15. December 2015: On the Hamiltonian integrability of the bi-Yang-Baxter sigma-model, F. Delduc, S. Lacroix, M. Magro, B. Vicedo, JHEP 1603 (2016) 104, DOI, [arXiv:1512.02462].

Summary

The primary goal of DefIS is to push forward the current frontier of knowledge on integrable field theories. Few field theories have the property of being integrable. Their study has nevertheless proved to be of great importance for theoretical physics. The reason is that integrability allows for the use of specific techniques in order to compute exact results. DefIS aims to construct the full landscape of integrable sigma-models and to determine its characteristics.

Pushing back the current frontier of our knowledge on integrable field theories

Few field theories have the property of being integrable. Their study has nevertheless proved to be of great importance for theoretical physics. The reason is that integrability allows the use of specific techniques in order to obtain exact results. This property has been widely used in recent years within the AdS / CFT correspondence. In this context, the most studied representative on the anti de Sitter side of this duality is a string theory whose dynamics is obtained from an integrable sigma model.

DefIS aims to build the complete landscape of integrable sigma models and to determine its characteristics.

The original approach of DefIS is to focus on the properties which are at the heart of integrability. This allows both to have the most profound understanding of these models and to build other sigma models whose integrability is ensured from the outset.

The perspectives opened by the latest integrable sigma models built by the DefIS collaboration are completely new in the sense that these models correspond to assemble and couple “smaller” integrable sigma models, which play the role of elementary bricks, in the same way as a LEGO ®.

Journey to the center of integrability of integrable sigma models

A central tool used by the DefIS collaboration is that of a rational function, the twist function. In short, Twist function = Integrability! DefIS has constrcted and studied integrable sigma models associated with increasingly "complex" twist functions. The DefIS collaboration had already shown that deforming the twist function of a known integrable sigma models makes it possible to obtain new sigma models while preserving integrability. To start, the collaboration determined the twist function of a sigma model previously known as an integrable deformation of a classical integrable sigma model. Then certain symmetries of integrable sigma models have been precisely related to this twist function. Depending on the type of symmetry, this in-depth analysis has been carried out either on a specific example or in a generic way. Most of integrable sigma models known for a long time or recently discovered, including the ones constructed by the DefIS collaboration, essentially correspond to twist functions with one site. A difficulty has been overcome when DefIS has obtained completely new integrable sigma models which correspond to a twist function with an arbitrary number of sites.

Main results

The "landscape" of known integrable sigma models has been greatly enriched thanks to the DefIS collaboration.

What characterizes an integrable field theory is the existence of an infinite number of symmetries. A first class of important results obtained by DefIS corresponds to a generic description of some of these symmetries, the ones which are associated with some particular local charges.

Until recently, one had to travel all the way to the heart of integrability in order to uncover the twist function of a given integrable sigma model. This is the case when the sigma model is defined by its action, such as the action of the string theory mentioned above. An unexpected result which was not forecast is that the twist function is also present at the level of the action. It is also the twist function which enables to make the link with a very recent approach called four dimensional Chern-Simons theory. In particular, the models built by the DefIS collaboration have been recovered within this Chern-Simons approach. Therefore, the approach of DefIS opens new promising perspectives.