Algèbre
(cours Agrégation 2008/2009)
Programme prévu pour la session 2009 de l'agrégation externe de mathématiques
Le cours et les travaux dirigés portent essentiellement sur les parties 2, 3 et 4 du programme :
- groupes et géométrie (feuilles d'exercices n°1, n°2, n°3 et n°4);
- anneaux, corps, polynômes et fractions rationnelles (feuilles d'exercices n°1, n°2, n°3, n°4 et n°5);
- formes bilinéaires et quadratiques sur un espace vectoriel (feuilles d'exercices n°1 et n°2).
Courbes elliptiques
(cours M2 2008/2009)
Ce cours fait partie du parcours "Théorie des groupes et théorie des nombres" du Master 2 Recherche (Université de Lyon - ÉNS Lyon, 2008/2009).
Horaire et lieu : tous les mercredis de 10h15 à 12h15, du 7 janvier au 8 avril 2009, en salle A2 (UMPA, ÉNS Lyon).
Un polycopié est disponible, avec quelques exercices.
Voici l'examen partiel et son corrigé, l'examen final et son corrigé.
Plan du cours :
- quotient du plan complexe par un réseau, fonctions elliptiques, fonction ℘ de Weierstraß;
- courbes algébriques planes (cas affine et projectif), théorèmes de Riemann-Roch et de Riemann-Hurwitz;
- courbes elliptiques sur un corps, loi de groupe;
- courbes elliptiques sur les corps finis et les corps locaux, réduction modulo p, points de torsion;
- courbes elliptiques sur Q, théorème de Mordell (le groupe des points rationnels est de type fini) et énoncé du théorème de Siegel (le nombre de points entiers est fini);
- représentation galoisienne et fonction L(E,s), énoncé de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.
Référence : J.H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 106, Springer (1992), Corrected reprint of the 1986 original.
Dernière mise à jour le 9 avril 2009.