Archives enseignement 2009/2010
2009/2010 Géométrie algébrique élémentaire. Cours Master 1 (2nd semestre), Université de Lyon - ÉNS Lyon.
2009/2010 Préparation à l'agrégation. Cours et exercices d'algèbre, ÉNS Lyon.
M1 : Géométrie algébrique élémentaire
Ce cours a été donné au second semestre du parcours "Algèbre approfondie" du Master 1 de mathématiques de Lyon (Université Lyon 1 - ÉNS Lyon). Certains cours et TD ont été donnés par Maria Carrizosa (Université Lyon 1).
Ce cours est une introduction à la géométrie algébrique, avec un accent particulier sur la théorie classique des courbes algébriques planes. Il est fait en partie usage des résultats d'algèbre commutative vus au premier semestre, notamment la théorie des anneaux de valuation discrète et des anneaux de Dedekind.
Examen partiel du 19 mars 2010. Examen final du 21 mai 2010, et son corrigé.
Feuilles d'exercices : TD1, TD2, TD3, TD4, TD5, TD6, TD7, TD8, TD9, TD10, TD11.
Plan du cours :
1. Espaces affine et projectif.
Définition des fermés algébriques. Idéal et anneau des coordonnées d'une variété. Théorème des zéros de Hilbert. Dimension.
2. Courbes algébriques planes.
Complétion projective d'une courbe affine, points à l'infini. Composantes irréductibles. Fonctions régulières et rationnelles.
3. Corps de fonctions.
Définition abstraite d'une courbe algébrique comme corps de fonctions. Anneau local en un point, uniformisantes. Diviseurs.
4. Intersections.
Théorème de Bézout (pour les courbes planes). Théorème AF+BG de Max Noether. Cas particuliers : théorèmes de Pappus et de Pascal.
5. Calcul différentiel.
Espace cotangent et lissité (cas des courbes). Formes différentielles régulières et rationnelles. Définition du genre et formule pour une courbe plane lisse.
6. Morphismes.
Applications régulières et rationnelles entre courbes. Indice de ramification en un point. Formule de Riemann-Hurwitz.
Références :
- C. G. Gibson, Elementary geometry of algebraic curves: an undergraduate introduction, Cambridge University Press, 1998.
- M. Reid, Undergraduate algebraic geometry, Cambridge University Press, 1988.
- K. Smith, L. Kahanpää, P. Kekäläinen, W. Traves, An invitation to algebraic geometry, Springer, Universitext, 2000.
Voir également :
- Chapitres 1 et 2 de J. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, GTM 106, Springer, 1986.
- Chapitre 1 de J. Milne, Elliptic curves, BookSurge Publishers, 2006. Disponible sur le site de James Milne.
- Chapitres 3, 4 et 5 de W. Fulton, Algebraic curves, Benjamin, 1974. Disponible sur le site de William Fulton.
Plus avancé :
- C. Chevalley, Introduction to the theory of algebraic functions of one variable, Mathematical Surveys, AMS, 1963.
- D. Perrin, Géométrie algébrique, InterÉditions/CNRS Éditions, 1995.
Pour ce qui est de l'algèbre commutative, des anneaux de valuation discrète et des anneaux de Dedekind :
- Notes du cours Algèbre approfondie (M1) de Sandra Rozensztajn et Amaury Thuillier, 1er semestre 2009/2010, Université de Lyon - ÉNS Lyon.
- Chapitre 3 de P. Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann, 1967.
- Chapitres 1 et 2 du cours de M2 de L. Merel, Théorie algébrique des nombres. 1998/1999.
Agrégation : Algèbre
Voici le rapport du jury sur la session 2009 de l'agrégation externe de mathématiques, qui contient le programme prévu pour la session 2010.
Le cours et les travaux dirigés sont assurés par Agnès David et moi-même. Ils portent essentiellement sur les parties 2, 3 et 4 du programme ci-dessus.
Feuilles d'exercices :
Nota bene : les titres des feuilles ci-dessous ne sont qu'indicatifs.
Groupes et géométrie
Feuille n°1. Actions de groupes
Feuille n°2. Groupes symétriques
Feuille n°3. Groupes abéliens de type fini
Feuille n°4. Groupes linéaires
Anneaux, corps, polynômes
Feuille n°5. Isomorphismes, polynômes symétriques
Feuille n°6. Polynômes symétriques, homogènes, séries formelles
Feuille n°7. Arithmétique dans les anneaux
Feuille n°8. Congruences, arithmétique dans Z
Feuille n°9. Polynômes, corps des fractions
Feuille n°10. Extensions de corps
Feuille n°11. Corps finis
Feuille n°12. Résultants et applications
Le théorème de Bézout pour les courbes planes (enfin presque...)
Le théorème de Lüroth et autres résultats sur les fractions rationnelles
Le théorème de Minkowski sur les réseaux et application au théorème des quatre carrés.
Formes bilinéaires et quadratiques
Feuille n°13. Formes linéaires et bilinéaires
Feuille n°14. Formes quadratiques
Feuille n°15. Groupe orthogonal