François Brunault - Enseignement

Enseignement 2011/2012

2011/2012 Algèbre avancée. Cours en M1, ÉNS Lyon.
2011/2012 Géométrie algébrique. Cours et TD en M1, ÉNS Lyon.
2011/2012 Préparation à l'agrégation. Cours et exercices d'algèbre, ÉNS Lyon.

M1 : Algèbre avancée

Ce cours a lieu au premier semestre du M1 approfondi de mathématiques. Les travaux dirigés sont assurés par Lara Thomas.

Examen partiel du 9 novembre 2011.

Examen final du 4 janvier 2012 et son corrigé.

Plan du cours :

1. Théorie de Galois

Cours 1 (21 septembre 2011) : Extensions de corps.
Cours 2 (28 septembre 2011) : Séparabilité. Corps finis.
Cours 3 (5 octobre 2011) : Extensions galoisiennes. Groupe de Galois. Exemples.
Cours 4 (12 octobre 2011) : Correspondance de Galois. Cas des corps finis.
Cours 5 (19 octobre 2011) : Extensions cyclotomiques. Extensions cycliques.
Cours 6 (2 novembre 2011) : Résolubilité par radicaux.

2. Algèbre commutative

Cours 7 (16 novembre 2011) : Produit tensoriel (1).
Cours 8 (23 novembre 2011) : Produit tensoriel (2).
Cours 9 (30 novembre 2011) : Localisation.
Cours 10 (7 décembre 2011) : Anneaux de valuation discrète.
Cours 11 (14 décembre 2011) : Anneaux de Dedekind.

Travaux dirigés :

20/09/2011 : TD 1
27/09/2011 : TD 2
30/09/2011 et 04/10/2011 : TD 3
11/10/2011 : TD 4
18/10/2011 : TD 5
21/10/2011 : TD 6
04/11/2011 : TD 7
15/11/2011 : TD 8
22/11/2011 : TD 9
29/11/2011 : TD 10
06/12/2011 : TD 11
13/12/2011 : TD 12

M1 : Géométrie algébrique

Ce cours a lieu au second semestre du M1 approfondi de mathématiques. Le cours et les travaux dirigés seront assurés par Alexis Tchoudjem et moi-même.

Ce cours est une introduction à la géométrie algébrique et met l'accent sur l'étude des courbes algébriques planes.

Plan du cours :

1. Courbes affines

Fermés algébriques de l'espace affine.
Théorème des zéros de Hilbert.
Courbes affines planes.
Fonctions régulières, fonctions rationnelles.
Applications régulières entre courbes.
Anneau local en un point.
Courbes rationnelles.
Lissité.

2. Courbes projectives

Géométrie projective.
Fermés algébriques de l'espace projectif.
Théorème fondamental de l'élimination projective.
Courbes projectives planes.
Lien entre courbes affines et courbes projectives.
Coniques, courbes rationnelles.
Théorème de Bézout, théorème AF+BG de Max Noether.
Applications : théorème de Pascal, loi de groupe sur une cubique.
Genre d'une courbe projective.

Travaux dirigés :

27/01/2012 : TD 1
03/02/2012 : TD 2
10/02/2012 : TD 3
17/02/2012 : TD 4
02/03/2012 : TD 5
09/03/2012 : TD 6
16/03/2012 : TD 7
23/03/2012 : TD 8
30/03/2012 : TD 9
06/04/2012 : TD 10
27/04/2012 : TD 12
04/05/2012 : TD 13

21/03/2012 : Examen partiel
11/05/2012 : Examen final

Bibliographie :

M. Reid, Undergraduate algebraic geometry, London Mathematical Society Student Texts 12, Cambridge University Press, 1988.
W. Fulton, Algebraic curves, Benjamin, 1974. Disponible sur le site de William Fulton.

Pour ceux qui souhaitent en savoir plus sur le lien entre courbes algébriques et surfaces de Riemann, je recommande vivement la lecture de l'introduction du livre Uniformisation des surfaces de Riemann - Retour sur un théorème centenaire, publié par l'ÉNS Lyon en 2011.

Agrégation : Algèbre

Le cours et exercices d'algèbre sont assurés par Lara Thomas et moi-même.

Voici une bibliographie (indicative et non exhaustive) pour l'épreuve d'algèbre à l'agrégation.

Déroulement du cours :

14 septembre 2011. Révisions sur les groupes. Feuille d'exercices.
21 septembre 2011. Groupes abéliens de type fini. Feuille d'exercices.
28 septembre 2011. Groupes, actions de groupes (1). Feuille d'exercices.
5 octobre 2011. Groupes, actions de groupes (2).
12 octobre 2011. Groupes de permutations. Feuille d'exercices.
19 octobre 2011. Représentations des groupes finis (1).
2 novembre 2011. Représentations des groupes finis (2).
9 novembre 2011. Anneaux, polynômes. Feuille d'exercices
16 novembre 2011. Représentations des groupes finis (3).
23 novembre 2011. Arithmétique dans les anneaux.
10 janvier 2012. Réseaux, théorème de Minkowski. Feuille d'exercices
11 janvier 2012. Polynômes en plusieurs indéterminées. Feuille d'exercices
25 janvier 2012. Séries formelles. Feuille d'exercices
30 janvier 2012. Extensions de corps. Feuille d'exercices
6 février 2012. Extensions de corps (2).
13 février 2012. Résultant et intersection de courbes planes. Feuille d'exercices
27 février 2012. Résultant, discriminant, fractions rationnelles. Feuille d'exercices
5 mars 2012. Groupe linéaire. Feuille d'exercices
12 mars 2012. Formes bilinéaires, formes quadratiques. Feuille d'exercices
19 mars 2012. Formes bilinéaires, formes quadratiques (2). Feuille d'exercices
26 mars 2012. Endomorphismes hermitiens, endomorphismes normaux. Feuille d'exercices

Dernière mise à jour le 21 mai 2012.